Главная › Коробка пердач › Вписанные и описанные многогранники в шар. Многогранники, вписанные в шар. Постановка домашнего задания

Вписанные и описанные многогранники в шар. Многогранники, вписанные в шар. Постановка домашнего задания

«Объём шара» - Объем параболического сегмента. Найдите объем шара, вписанного в правильный тетраэдр с ребром 1. В конус, радиус основания которого равен 1, а образующая равна 2, вписан шар. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Объем шарового сегмента высоты h, отсекаемого от шара радиуса R, выражается формулой.

«Окружность круг сфера шар» - Колесо. Ребята, вы все сейчас становитесь членами вычислительного центра. По аналогии с окружностью объясните, что такое: а)радиус; б)хорда; в)диаметр сферы. Найдите площадь поверхности шара радиусом 3м. Диаметр. Центр шара (сферы). Шар и сфера. Шар. Вспомните, как определяется окружность. Попробуйте дать определение сферы, используя понятия расстояния между точками.

«Правильные многогранники» - Сумма плоских углов икосаэдра при каждой вершине равна 300?. Правильные многогранники – самые «выгодные» фигуры. Сумма плоских углов куба при каждой вершине равна 270?. Правильный октаэдр. Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли. Куб – самая устойчивая из фигур. Правильный додекаэдр. Правильные выпуклые многогранники.

«Шар» - Исследовательская деятельность во внеурочное время. Задача №1. Конус. Повторение теоретических положений. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Поверхность шара называется сферой. Пирамида. В своей работе мы: Исследова-тельская практика, процесс работы над темой. Работа в кружках, на факульта-тивах.

«Вписанная и описанная окружность» - АРХИМЕД (287-212 ДО Н.Э.) – древнегреческий математик и механик. Описанная и вписанная окружности. Мы можем ответить на проблемные вопросы. Круг. При увеличении числа сторон правильного многоугольника угол многоугольника увеличивается. Древние математики не владели понятиями математического анализа.

«Сфера и шар» - Сечение, проходящее через центр шара, - большой круг. (диаметральное сечение). Астрономические наблюдения над небесным сводом неизменно вызывали образ сферы. Сфера всегда широко применялось в различных областях науки и техники. Касательная плоскость к сфере. Общие понятия. На поверхности шара даны три точки.

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 Методическое пособие для учащихся 11 классов Составил учитель математики высшей категории Гавинская Елена Вячеславовна. г.Калининград 2016-2017 учебный год

2 слайд

Описание слайда:

Многогранники, вписанные в сферу. Тема, аналогична теме курса планиметрии, где говорилось, что окружности можно описать вокруг треугольников и правильных n-угольников. Аналогом окружности в пространстве является сфера, многоугольника – многогранник. При этом аналогом треугольника является треугольная призма, а аналогом правильных многоугольников – правильные многогранники. Определение. Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины принадлежат этой сфере. Сама сфера называется описанной около многогранника.

3 слайд

Описание слайда:

«Около прямой призмы можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания этой призмы можно описать окружность». Доказательство Если около прямой призмы описана сфера, то все вершины основания призмы принадлежат сфере и, следовательно, окружности, являющейся линией пересечения сферы и плоскости основания. Обратно, пусть около основания прямой призмы описана окружность с центром в точке О1 и радиуса r. Тогда и около второго основания призмы можно описать окружность с центром в точке О2 и тем же радиусом. Пусть О1О2=d, О – середина O1O2. Тогда сфера с центром О и радиуса R= будет искомой описанной сферой. Теорема 1.

4 слайд

Описание слайда:

«Около любой треугольной пирамиды можно описать сферу, причём только одну». Доказательство. Обратимся к доказательству, аналогичному из курса планиметрии. Прежде всего надо найти геометрическое место точек, равноудалённых от двух вершин треугольника. Например, А и В. Таким геометрическим местом является серединный перпендикуляр, проведённый к отрезку АВ. Затем находим геометрическое место точек, равноудалённых от А и С. Это серединный перпендикуляр к отрезку АС. Точка пересечения этих серединных перпендикуляров и будет искомым центром О описанной около треугольника АВС окружности. Теорема 2.

5 слайд

Описание слайда:

Теперь рассмотрим пространственную ситуацию и сделаем аналогичные построения. Пусть дана треугольная пирамида DABC, причём точки А, В и С определяют плоскость α. Геометрическим местом точек, равноудаленных от точек А, В и С является прямая а, перпендикулярная плоскости α и проходящая через центр О1 описанной около треугольника АВС окружности. Геометрическим местом точек, равноудалённых от точек А и D, является плоскость β, перпендикулярная отрезку АD и проходящая через его вершину – точку Е. Плоскость β и прямая а пересекаются в точке О, которая и будет искомым центром описанной около треугольной пирамиды DABC сферы. Действительно, в силу построения точка О одинаково удалена от всех вершин пирамиды DABC. Причём такая точка будет единственной, так как пересекающиеся прямая и плоскость имеют единственную общую точку.

6 слайд

Описание слайда:

Шар, описанный около правильной пирамиды. Шар можно описать около любой правильной пирамиды. Центр шара лежит на прямой, проходящей через высоту пирамиды, и совпадает с центром окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковой стороной которого является боковое ребро пирамиды, а высотой – высота пирамиды. Радиус шара равен радиусу этой окружности. Радиус шара R, высота пирамиды H и радиус окружности r, описанной около основания пирамиды, связаны соотношением: R2=(H-R)2+r2 Это соотношение справедливо и в том случае, когда H < R.

7 слайд

Описание слайда:

Задача про шар, описанный около правильной пирамиды. «Около правильной пирамиды РABC описан шар с центром в точке О и радиусом 9√3м. Прямая РО, содержащая в себе высоту пирамиды, пересекает основание пирамиды в точке Н так, что РН:ОН=2:1. Найти объём пирамиды, если каждое её боковое ребро образует с плоскостью основания угол в 45 градусов».

8 слайд

Описание слайда:

Дано: РABC – правильная пирамида; шар(O;R=9√3 м) описан около пирамиды; РО∩(АВС)=Н; РН:ОН=2:1; ∟РАН=∟ РВН=∟ РСН=45о. Найти: Vпир. Решение: Так как РН:ОН=2:1 (по условию), то РН:ОР=2:3 РН:9√3 =2:3 РН=6√3 (м) 2. РН _ (АВС) (как высота пирамиды) => => РН _ АН (по определению) => РАН – прямоугольный. 3. В РАН:

9 слайд

Описание слайда:

4. Так как по условию РАВС – правильная пирамида и РН – её высота, то по определению АВС – правильный; Н – центр описанной около АВС окружности, значит, 5. Ответ: 486 м3.

10 слайд

Описание слайда:

Шар, описанный около призмы. Шар можно описать около призмы, если она прямая, и ее основания являются многоугольниками, вписанными в окружность. Центр шара лежит на середине высоты призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы. Радиус шара R, высота призмы H и радиус окружности r, описанных около основания призмы, связаны соотношением:

11 слайд

Описание слайда:

Задача про шар, описанный около призмы. «Правильная призма АВСDA1B1C1D1 с высотой равной 6 см вписана в шар (т.О;R=5см). Найти площадь сечения призмы плоскостью, параллельной плоскостям основания и проходящей через точку О – центр шара».

12 слайд

Описание слайда:

Дано: ABCDA1B1C1D1 – правильная призма; шар(O;R=5 см) описан около призмы; высота призмы h равна 6 см; α║(АВС); О с α. Найти: Sсеч α, Решение: Так как по условию призма вписана в шар, то (r-радиус окружности, описанной около основания призмы) Но по условию дана правильная призма, значит,

13 слайд

Описание слайда:

а) (АВВ1) ║(СС1D1) (по свойству прямой призмы) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (по свойству параллельных плоскостей) Ho (BCC1) ║(ADD1) (по свойству прямой призмы) => КМ=НР (по свойству параллельных плоскостей). Значит, КМНР – параллелограмм (по признаку)=> МН=КР и МН ║ КР б) α ║ (АВС) (по построению) α ∩ (АВВ1)=КМ (АВС) ∩ (АВВ1)=АВ => KM ║ АВ (по свойству параллельных плоскостей) 2. 3. Так как по условию АВСDA1B1C1D1 – правильная призма, и сечение плоскостью α параллельно основаниям, то образованная сечением фигура – квадрат. Докажем это: => => =>

14 слайд

Описание слайда:

KMH= ABC=90o (как углы с соответственно сонаправленными сторонами) Значит, ромб КМНР – квадрат (по определению), что и требовалось доказать. Причём, квадраты КМНР и АВСD равны. Следовательно, по свойству их площади равны, а, значит, Sсеч α.=SABCD=32 (см2) Ответ: 32 см2. в) KM ║ АВ (доказали) (BCC1) ║(ADD1) (по свойству прямой призмы) => КМ=АВ=4√2 см (по свойству параллельных плоскостей). г) Аналогично доказывается, что МН ║ ВС и МН=ВС=4√2 см. Значит, МН=КМ => параллелограмм МНРК – ромб (по определению). д) МН ║ ВС (доказали) КМ ║ АВ (доказали) => =>

15 слайд

Описание слайда:

Цилиндр, описанный около призмы. Цилиндр можно описать около прямой призмы, если ее основание – многоугольник, вписанный в окружность. Радиус цилиндра R равен радиусу этой окружности. Ось цилиндра лежит на одной прямой с высотой H призмы, соединяющей центры окружностей, описанных около оснований призмы. В случае с четырёхугольной призмой (если в основании прямоугольник), ось цилиндра проходит через точку пересечения диагоналей оснований призмы.

16 слайд

Описание слайда:

Задача про цилиндр, описанный около призмы. Прямая призма АВСDA1B1C1D1 , основание которой – прямоугольник, вписана в цилиндр, образующая которого равна 7 см, а радиус – 3 см. Найти площадь боковой поверхности призмы, если угол между диагоналями АВСD равен 60 градусов. ОО1 – ось цилиндра.

17 слайд

Описание слайда:

Дано: ABCDA1B1C1D1 – прямая призма; цилиндр описан около призмы; образующая цилиндра АА1=7 см; радиус основания цилиндра равен 3 см; угол между диагоналями АВCD равен 60о; ОО1 – ось цилиндра. Найти: Sбок.призм. Решение: Так как по условию четырёхугольная призма, в основании которой прямоугольник, вписана в шар, то по свойству АС∩ВD=О. Значит, АОВ=60о и АО=ОВ=3см. 2. В АОВ по теореме косинусов.

Открытый урок по теме «Вписанные и описанные многогранники»

Тема урока: Сфера, вписанная в пирамиду. Сфера, описанная около пирамиды.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.Цели урока:

Развитиелогического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

Оборудование:

Презентация «Вписанная и описанная сфера»

Условия задач в рисунках на доске. Раздаточный материал (опорные конспекты).

Планиметрия. Вписанная и описанная окружность. Стереометрия. Вписанная сфера Стереометрия. Описанная сфера Структура урока:

Постановка целей урока (2 минуты). Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос) (6 минут). Объяснение нового материала (15 минут) Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по теме «Стереометрия. Описанная сфера» и применение темы при решении задач (15 минут). Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся (5 минут). Постановка домашнего задания (2 минуты). Резервные задания. Ход урока 1. Постановка целей урока.

Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника. Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу. Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы. Сформировать навыки решения задач по теме. 2. Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос). Окружность, вписанная в многоугольник.

Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Как называется многоугольник, в который вписана окружность? Какая точка является центром окружности, вписанной в многоугольник? Каким свойством обладает центр окружности, вписанной в многоугольник? Где располагается центр окружности, вписанной в многоугольник? Какой многоугольник можно описать около окружности, при каких условиях? Окружность, описанная около многоугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника? Как называется многоугольник, около которого описана окружность? Какая точка является центром окружности, описанной около многоугольника? Каким свойством обладает центр окружности, описанной около многоугольника? Где может располагаться центр окружности, описанной около многоугольника? Какой многоугольник можно вписать в окружность и при каких условиях? 3. Объяснение нового материала. А. По аналогии учащиеся формулируют новые определения и отвечают на поставленные вопросы. Сфера, вписанная в многогранник.

Сформулируйте определение сферы, вписанной в многогранник. Как называется многогранник, в который можно вписать сферу? Каким свойством обладает центр вписанной в многогранник сферы? Что представляет множество точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла? (трехгранного угла?) Какая точка является центром сферы, вписанной в многогранник? В какой многогранник можно вписать сферу, при каких условиях? В. Учащиеся доказывают теорему. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.В процессе работы на уроке учащиеся пользуются опорными конспектами.С. Учащиеся анализируют решение задачи.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а , высота равна h . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

D. Учащиеся решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, боковые грани наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус, вписанной в эту пирамиду сферы.

4. Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по « Сфера, описанная около многогранника » и применение при решении задач.

А. Учащиеся самостоятельно заполняют конспект по теме «Сфера, описанная около многогранника». Отвечают на следующие вопросы:

Сформулируйте определение сферы, описанной около многогранника.

Как называется многогранник, около которого можно описать сферу?

Каким свойством обладает центр описанной около многогранника сферы?

Что представляет собой множество точек пространства, равноудаленных от двух точек?

Какая точка является центром сферы, описанной около многогранника?

Где может быть расположен центр сферы, описанной около пирамиды? (многогранника?)

Около какого многогранника можно описать сферу?

В. Учащиеся самостоятельно решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

С. Проверка составленного конспекта и анализ решения задачи.

5. Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся.

А. Учащиеся самостоятельно подводят итоги урока.

В. Отвечают на дополнительные вопросы.

Можно ли описать сферу около четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом?

Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда? Если да, то где находится его центр?

Где в жизни применяется изученная на уроке теория (архитектура, сотовая телефонная связь, геостационарные спутники, система обнаружения GPS).

6. Постановка домашнего задания.

А. Составить конспект по теме «Сфера, описанная около призмы. Сфера, вписанная в призму». (Рассмотреть по учебнику задачи: №632,637,638)

В. Решить из учебника задачу № 640.

С. Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс» решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

D. Дополнительное задание: Вариант №5 С12 (1).

7. Резервные задания.

Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс»решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

Учебно – методический комплект

Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., М.: Просвещение, 2010г.

Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс», М.: Просвещение.

Учитель математики

ГБОУ лицей-интернат «ЦОД»

г Нижний Новгород

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Цели урока:

Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника.

Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу.

Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы.

Сформировать навыки решения задач по теме.

Развитие у учащихся навыков самостоятельной работы.

Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Описанная окружность.

Определение: Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника , а многоугольник – вписанным в окружность.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Например: ромб.

Теорема. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Для того чтобы четырехугольник АВСD был вписанным, необходимо и достаточно, выполнения любого из следующих условий:

ABCD выпуклый четырехугольник и ∟ABD=∟ACD;
Сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 180 0 .

Центр окружности равноудален от каждой из его вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, а радиус равен расстоянию от центра до вершин.

Для треугольника: Для правильного многоугольника:

Вписанная окружность.

Определение: Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например: прямоугольник, не являющийся квадратом.

Теорема. В любом описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны.

Если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Для того чтобы выпуклый четырехугольник ABCD являлся описанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие AB+DC=BC+AD (суммы длин противоположных сторон равны).

Центр окружности равноудален от сторон многоугольника, значит, совпадает с точкой пересечения биссектрис углов многоугольника (свойство биссектрисы угла). Радиус равен расстоянию от центра окружности до сторон многоугольника.

Для треугольника: Для правильного

Многоугольника:

Предварительный просмотр:

Вписанная сфера.

Определение: Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех граней многогранника. Многогранник в таком случае называется описанным около сферы.

Центр вписанной сферы – точка пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов.

Сфера называется вписанной в двугранный угол, если она касается его граней. Центр вписанной в двугранный угол сферы лежит на биссекторной плоскости этого двугранного угла. Сфера называется вписанной в многогранный угол, если она касается всех граней многогранного угла.

Не во всякий многогранник можно вписать сферу. Например: в прямоугольный параллелепипед, не являющийся кубом, сферу вписать нельзя.

Теорема . В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу и притом только одну.

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду CABD. Проведем биссекторные плоскости ее двугранных углов с ребрами AС и BC. Они пересекаются по прямой, которая пересечет биссекторную плоскость двугранного угла с ребром АВ. Таким образом, биссекторные плоскости двугранных углав с ребрами АВ,АС и ВС имеют единственную общую точку. Обозначим ее Q. Точка Q равноудалена от всех граней пирамиды. Следовательно, сфера соответствующего радиуса с центром в точке Q является вписанной в пирамиду САBD.

Докажем ее единственность. Центр любой сферы вписанной в пирамиду CABD равноудален от ее граней, значит, он принадлежит биссекторным плоскостям двугранных углов. Следовательно, центр сферы совпадает с точкой Q. Что требовалось доказать.

Теорема. В пирамиду, у которой в основание можно вписать окружность, центр которой служит основанием высоты пирамиды, можно вписать сферу.

Следствие. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу.

Докажите, что центр сферы вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды (докажите самостоятельно).

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, есть точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание.

Задача. а , высота равна h.

Решите задачу.

Задача. 0

Предварительный просмотр:

Описанная сфера.

Определение. Сфера называется описанной около многогранника, если________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________. Многогранник при этом называется _______________________________________.

Каким свойством обладает центр описанной сферы?

Определение. Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов некоторого отрезка, является ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

Приведите пример многогранника, около которого нельзя описать сферу: ________________________ __________________________________________________________________________________________________________ .

Около какой пирамиды можно описать сферу?

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD. Построим плоскости, перпендикулярные соответственно ребрам АВ, АС и AD и проходящие через их середины. Обозначим через О точку пересечения этих плоскостей. Такая точка существует, и она единственна. Докажем это. Возьмем первые две плоскости. Они пересекаются, поскольку перпендикулярны непараллельным прямым. Обозначим прямую, по которой пересекаются первые две плоскости, через l . Эта прямая l перпендикулярна плоскости АВС. Плоскость, перпендикулярная AD, не параллельна l и не содержит ее, поскольку в противном случае прямая AD перпендикулярна l , т.е. лежит в плоскости АВС. Точка О равноудалена от точек А и В, А и С, А и D, значит, она равноудалена ото всех вершин пирамиды ABCD, т. е. сфера с центром в О соответствующего радиуса является описанной сферой для пирамиды.

Докажем ее единственность. Центр любой сферы, проходящей через вершины пирамиды, равноудален от этих вершин, значит, он принадлежит плоскостям, которые перпендикулярны ребрам пирамиды и проходят через середины этих ребер. Следовательно, центр такой сферы совпадает с точкой О. Теорема доказана.

Около какой еще пирамиды можно описать сферу?

Теорема. _____________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

Центр сферы, описанной около пирамиды, совпадает с точкой пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через середину этого ребра.

Для того чтобы около многогранника можно было описать сферу необходимо, __________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

При этом центр описанной сферы может лежать ___________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ и проектируется в центр описанной около любой грани окружности; перпендикуляр, опущенный из центра описанной около многогранника сферы на ребро многогранника, делит это ребро пополам.

Следствие. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ .

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит ________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

Проанализируйте решение задачи.

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а , высота равна h. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решите задачу.

Задача. 0

Предварительный просмотр:

Открытый урок по теме «Вписанные и описанные многогранники»

Тема урока: Сфера, вписанная в пирамиду. Сфера, описанная около пирамиды.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Цели урока:

Развитие у учащихся навыков самостоятельной работы.
Развитие логического мышления, алгоритмической культуры, пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности;

Оборудование:

Интерактивная доска
Презентация «Вписанная и описанная сфера»
Условия задач в рисунках на доске.
Раздаточный материал (опорные конспекты).

Планиметрия. Вписанная и описанная окружность.
Стереометрия. Вписанная сфера
Стереометрия. Описанная сфера

Структура урока:

Постановка целей урока (2 минуты).
Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос) (6 минут).
Объяснение нового материала (15 минут)
Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по теме «Стереометрия. Описанная сфера» и применение темы при решении задач (15 минут).
Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся (5 минут).
Постановка домашнего задания (2 минуты).
Резервные задания.

Ход урока

1. Постановка целей урока.

Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника.
Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу.
Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы.
Сформировать навыки решения задач по теме.

2. Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос).

Окружность, вписанная в многоугольник.

Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
Как называется многоугольник, в который вписана окружность?
Какая точка является центром окружности, вписанной в многоугольник?
Каким свойством обладает центр окружности, вписанной в многоугольник?
Где располагается центр окружности, вписанной в многоугольник?
Какой многоугольник можно описать около окружности, при каких условиях?

Окружность, описанная около многоугольника.

Какая окружность называется описанной около многоугольника?
Как называется многоугольник, около которого описана окружность?
Какая точка является центром окружности, описанной около многоугольника?
Каким свойством обладает центр окружности, описанной около многоугольника?
Где может располагаться центр окружности, описанной около многоугольника?
Какой многоугольник можно вписать в окружность и при каких условиях?

3. Объяснение нового материала.

А . По аналогии учащиеся формулируют новые определения и отвечают на поставленные вопросы.

Сфера, вписанная в многогранник.

Сформулируйте определение сферы, вписанной в многогранник.
Как называется многогранник, в который можно вписать сферу?
Каким свойством обладает центр вписанной в многогранник сферы?
Что представляет множество точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла? (трехгранного угла?)
Какая точка является центром сферы, вписанной в многогранник?
В какой многогранник можно вписать сферу, при каких условиях?

В . Учащиеся доказывают теорему.

В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

В процессе работы на уроке учащиеся пользуются опорными конспектами.

С. Учащиеся анализируют решение задачи.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а , высота равна h. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

D. Учащиеся решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, боковые грани наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус, вписанной в эту пирамиду сферы.

4. Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по « Сфера, описанная около многогранника » и применение при решении задач.

А. У чащиеся самостоятельно заполняют конспект по теме «Сфера, описанная около многогранника». Отвечают на следующие вопросы:

Сформулируйте определение сферы, описанной около многогранника.
Как называется многогранник, около которого можно описать сферу?
Каким свойством обладает центр описанной около многогранника сферы?
Что представляет собой множество точек пространства, равноудаленных от двух точек?
Какая точка является центром сферы, описанной около многогранника?
Где может быть расположен центр сферы, описанной около пирамиды? (многогранника?)
Около какого многогранника можно описать сферу?

В. Учащиеся самостоятельно решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 60 0 . Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

С. Проверка составленного конспекта и анализ решения задачи.

А. Учащиеся самостоятельно подводят итоги урока.

В. Отвечают на дополнительные вопросы.

Можно ли описать сферу около четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом?
Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда? Если да, то где находится его центр?
Где в жизни применяется изученная на уроке теория (архитектура, сотовая телефонная связь, геостационарные спутники, система обнаружения GPS).

6. Постановка домашнего задания.

В. Решить из учебника задачу № 640.

D. Дополнительное задание: Вариант №5 С12 (1).

7. Резервные задания.

Учебно – методический комплект

Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., М.: Просвещение, 2010г.
Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс», М.: Просвещение.
Повторение Окружность, описанная около многоугольника Какая окружность называется описанной около многоугольника? Что является центром окружности, описанной около многоугольника? Каким свойством обладает центр окружности, описанной около многоугольника? Где располагается центр окружности, описанной около многоугольника? Какой многоугольник можно вписать в окружность и при каких условиях?
Повторение Окружность, вписанная в многоугольник Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Что является центром окружности, вписанной в многоугольник? Каким свойством обладает центр окружности, вписанной в многоугольник? Где располагается центр окружности, вписанной в многоугольник? Какой многоугольник можно описать около окружности, при каких условиях?
Сфера, вписанная в многогранник Сформулируйте определение сферы, вписанной в многогранник. Как называется многогранник? Каким свойством обладает центр вписанной сферы? Где расположено множество точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла? (трехгранного угла)? В какой многогранник можно вписать сферу?
Сфера, вписанная в пирамиду
Сфера, описанная около многогранника Сформулируйте определение сферы, описанной около многогранника. Как называется многогранник? Каким свойством обладает центр описанной сферы? Где расположено множество точек пространства, равноудаленных от двух точек? Где расположен центр сферы, описанной около пирамиды? (многогранника?) Около какого многогранника можно описать сферу?
Сфера, описанная около пирамиды
Подведение итогов урока. Можно ли описать сферу около четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом? Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда? Если да, то где находится его центр?
Домашнее задание. Составить конспект по теме «Сфера, описанная около призмы. Сфера, вписанная в призму». (Рассмотреть по учебнику задачи: №632,637,638) Решить из учебника задачу № 640. Из методички решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

Цель работы состоит в том, чтобы узнать весь теоретический материал по теме «Вписанные и описанные многогранники» и научиться применять его на практике.

Многогранники, вписанные в шар Выпуклый многогранник называется вписанным, если все его вершины лежат на некоторой сфере. Эта сфера называется описанной для данного многогранника. Центр этой сферы является точкой, равноудаленной от вершин многогранника. Она является точкой пересечения плоскостей, каждая из которых проходит через середину ребра многогранника перпендикулярно ему.

Пирамида, вписанная в шар Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Формула для нахождения радиуса описанной сферы Пусть SABC - пирамида с равными боковыми ребрами, h - ее высота, R радиус окружности, описанной около основания. Найдем радиус описанной сферы. Заметим подобие прямоугольных треугольников SKO 1 и SAO. Тогда SO 1/SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Но KS = SA/2. Тогда R 1 = SA 2/(2 SO); R 1 = (h 2 +R 2)/(2 h); R 1 = b 2/(2 h), где b - боковое ребро.

Призма, вписанная в шар Теорема: Около призмы можно описать шар только в том случае, если призма является прямой и около ее основания можно описать окружность.

Параллелепипед, вписанный в шар Теорема: Сфера может быть описана около параллелепипеда тогда и только тогда, когда параллелепипед прямоугольный, так как в данном случае он является прямым и около его основания - параллелограмма может быть описана окружность (т. к. основание - прямоугольник).

Конус и цилиндр, вписанные в шар Теорема: Около всякого конуса можно описать сферу. Теорема: Около любого цилиндра можно описать сферу.

Задача 1 Найти радиус шара, описанного правильного тетраэдра с ребром а. около Решение: Предварительно построим на изображении правильного тетраэдра SABC изображение центра описанного шара. Проведем апофемы SD и AD (SD = AD). В равнобедренном треугольнике ASD каждая точка медианы DN равноудалена от концов отрезка AS. Поэтому точка O 1 есть пересечение высоты SO и отрезка DN. Используя формулу из R 1 = b 2/(2 h), получим: SO 1 = SA 2/(2 SO); SO = SO 1 = a 2/(2 a =a =)=a /4. Ответ: SO 1 = a /4.

Задача 2 В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α. Найти радиус описанного шара. Решение: По формуле R 1=b 2/(2 h) для нахождения радиуса описанного шара найдем SC и SO. SC = a/(2 sin(α/2)); SO 2). (a/(2 sin(α/2))2 – (a /2)2 = =). = a 2/(4 sin 2(α/2)) – 2 a 2/4 = = a 2/(4 sin 2(α/2)) · (1 – 2 sin 2(α/2)) = = a 2/(4 sin 2(α/2)) · cosα R 1 = a 2/(4 sin 2(α/2)) · 1/(2 a Ответ: R 1 = a/(4 sin(α/2) · /(2 sin(α/2))) = a/(4 sin(α/2) ·

Многогранники, описанные около шара Выпуклый многогранник называется описанным, если все его грани касаются некоторой сферы. Эта сфера называется вписанной для данного многогранника. Центром вписанной сферы является точка, равноудаленная от всех граней многогранника.

Положение центра вписанной сферы Понятие биссекторной плоскости двугранного угла. Биссекторной называется плоскость, делящая двугранный угол на два равных двугранных угла. Каждая точка этой плоскости равноудалена от граней двугранного угла. В общем случае центр вписанной в многогранник сферы является точкой пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов многогранника. Он всегда лежит внутри многогранника.

Пирамида, описанная около шара Шар, называется вписанным в (произвольную) пирамиду, если он касается всех граней пирамиды (как боковых, так и основания). Теорема: Если боковые грани одинаково наклонены к основанию, то в такую пирамиду можно вписать шар. Так как двугранные углы при основании равны, то их половинки тоже равны биссектрисы пересекаются в одной точке на высоте пирамиды. Эта точка принадлежит всем биссекторным плоскостям при основании пирамиды и равноудалена от всех граней пирамиды – центр вписанного шара.

Формула для нахождения радиуса вписанной сферы Пусть SABC - пирамида с равными боковыми ребрами, h - ее высота, r радиус вписанной окружности. Найдем радиус описанной сферы. Пусть SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Тогда по свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1/r = (h – r 1)/ ; r 1 · = rh – rr 1; r 1 · (+ r) = rh; r 1 = rh/(+ r). Ответ: r 1 = rh/(+ r).

Призма, описанная около шара Теорема: Сферу можно вписать в призму тогда и только тогда, когда призма прямая и в основание можно вписать окружность, диаметр которой равен высоте призмы.

Параллелепипед и куб, описанные около шара Теорема: В параллелепипед можно вписать сферу тогда и только тогда, когда параллелепипед прямой и его основание ромб, причем высота этого ромба есть диаметр вписанной сферы, который, в свою очередь, равен высоте параллелепипеда. (Из всех параллелограммов только в ромб можно вписать окружность) Теорема: В куб всегда можно вписать сферу. Центр этой сферы точка пересечения диагоналей куба, а радиус равен половине длины ребра куба.

Цилиндр и конус, описанные около шара Теорема: Сферу можно вписать лишь в такой цилиндр, высота которого равна диаметру основания. Теорема: Во всякий конус можно вписать сферу.

Комбинации фигур Вписанная и описанная призмы Призма, вписанная в цилиндр – призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковыми ребрами – образующие цилиндра. Касательная плоскость к цилиндру – плоскость, проходящая через образующую цилиндра и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую. Призма, описанная около цилиндра – призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.

Вписанная и описанная пирамиды Пирамида, вписанная в конус – пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус – образующие конуса. Касательная плоскость к конусу – плоскость, проходящая через образующую и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую. Пирамида, описанная около конуса – пирамида, у которой основанием служит многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды – касательные плоскости конуса.

Другие виды конфигураций Цилиндр вписан в пирамиду, если окружность одного его основания касается всех боковых граней пирамиды, а другое его основание лежит на основании пирамиды. Конус вписан в призму, если его вершина лежит на верхнем основании призмы, а его основание – круг, вписанный в многоугольник – нижнее основание призмы. Призма вписана в конус, если все вершины верхнего основания призмы лежат на боковой поверхности конуса, а нижнее основание призмы лежит на основании конуса.

Задача 1 В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, а плоский угол при вершине равен α. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара. Решение: Выразим стороны ∆SOK через а и α. OK = a/2. SK = KC · ctg(α/2); SK = (a · ctg(α/2))/2. SO = = (a/2) Использую формулу r 1 = rh/(+ r), найдем радиус вписанного шара: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α/2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α/2) + 1) = (a/2) Ответ: r 1 = (a/2) =

Вывод Тема «Многогранники» изучается учениками в 10 и 11 классах, но в учебной программе очень мало материала на тему «Вписанные и описанные многогранники» , хотя она вызывает очень большой интерес у учащихся, так как изучение свойств многогранников способствует развитию абстрактного и логического мышления, что впоследствии пригодится нам в учебе, работе, жизни. Работая над данным рефератом, мы изучили весь теоретический материал на тему «Вписанные и описанные многогранники» , рассмотрели возможные комбинации фигур и научились применять весь изученный материал на практике. Задачи на комбинацию тел – наиболее трудный вопрос курса стереометрии 11 класса. Но теперь мы с уверенностью можем сказать, что у нас не возникнет проблем при решении подобных задач, так как в ходе нашей исследовательской работы мы установили и доказали свойства вписанных и описанных многогранников. Очень часто у учащихся возникают трудности при построении чертежа к задаче на данную тему. Но, узнав, что для решения задач на комбинацию шара с многогранником изображение шара бывает излишним и достаточно указать его центр и радиус, мы можем быть уверены, что данных трудностей у нас не возникнет. Благодаря данному реферату мы смогли разобраться в этой трудной, но очень увлекательной теме. Мы надеемся, что теперь у нас не возникнет трудностей применении изученного материала на практике.