Главная › Двигатель › Урок «Центр масс. Уравнение движения центра масс системы Как найти перемещение центра масс

Урок «Центр масс. Уравнение движения центра масс системы Как найти перемещение центра масс

Дифференциальные уравнения движения системы

Рассмотрим систему, состоящую из $n$ материальных точек. Выделим какую-нибудь точку системы с массой $m_{k}.$ Обозначим равнодействующую всех приложенных к точке внешних сил (и активных, и реакций связей) через $\overline{F}_{k}^{e} $, а равнодействующую всех внутренних сил -- через $\overline{F}_{k}^{l} $. Если точка имеет при этом ускорение $\overline{a_{k} }$, то по основному закону динамики:

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:

Уравнения (1) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме.

Проектируя равенства (1) на координатные оси, получим уравнения движения системы в дифференциальной форме в проекциях на эти оси.

Однако при решении многих конкретных задач необходимость находить закон движения каждой из точек системы не возникает, а бывает достаточно найти характеристики, определяющие движение всей системы в целом.

Теорема о движении центра масс системы

Для определения характера движения системы требуется знать закон движения ее центра масс. Центром масс или центром инерции системы называется такая воображаемая точка, радиус-вектор $R$которой выражается через радиус векторы $r_{1} ,r_{2} ,...$материальных точек по формуле:

$R=\frac{m_{1} r_{1} +m_{2} r_{2} +...+m_{n} r_{n} }{m} $, (2)

где $m=m_{1} +m_{2} +...+m_{n} $ - общая масса всей системы.

Чтобы найти этот закон, обратимся к уравнениям движения системы (1) и сложим почленно их левые и правые части. Тогда получим:

$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =\sum \overline{F}_{k}^{e} +\sum \overline{F}_{k}^{l} $. (3)

Из формулы (2) имеем:

Беря вторую производную по времени, получаем:

$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =M\overline{a}_{c} $, (4)

где $\overline{a}_{c} $- ускорение центра масс системы.

Так как по свойству внутренних сил в системе $\sum \overline{F}_{k}^{l} =0$, получим окончательно из равенства (3), учтя (4):

$M\overline{a}_{c} =\sum \overline{F}_{k}^{e} $. (5)

Уравнение (5) выражает теорему о движении центра масс системы: произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или центр масс системы движется как материальная точка , масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Проецируя обе части равенства (5) на координатные оси, получим:

$M\ddot{x}_{c} =\sum \overline{F}_{kx}^{e} $, $M\ddot{y}_{c} =\sum \overline{F}_{ky}^{e} $, $M\ddot{z}_{c} =\sum \overline{F}_{kz}^{e} $. (6)

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат.

Значение теоремы состоит в следующем:

Теорема

Поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных случаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс и допустимо по условиям задачи не принимать во внимание вращательную часть движения тела;
Теорема позволяет исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы. В этом ее практическая ценность.

Пример

Металлическое кольцо, подвешенное на нити к оси центробежной машины равномерно вращается с угловой скоростью $\omega $. Нить составляет угол $\alpha $с осью. Найти расстояние от центра кольца до оси вращения.

\[\omega \] \[\alpha \]

На нашу систему действует сила тяжести $\overline{N}$ $\overline{N}$ $\alpha \alpha$, сила натяжения нити и центростремительное ускорение.

Запишем второй закон Ньютона для нашей системы:

Спроецируем обе части на оси x и y:

\[\left\{ \begin{array}{c} N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end{array} \right.(4)\]

Разделив одно уравнение на другое, получим:

Так как $a=\frac{v^{2} }{R} ;$$v=\omega R$, находим искомое расстояние:

Ответ: $R=\frac{gtg\alpha }{\omega ^{2} } $

Урок «Центр масс»

Регламент: 2 урока

Цель: Познакомить учащихся с понятием «центр масс» и его свойствами.

Оборудование: фигуры из картона или фанеры, «неваляшка», перочинный нож, карандаши.

План урока

Этапы урока время методы и приемы

I Введение учащихся 10 фронтальный опрос, работа учащихся у доски.

в проблему урока

II. Изучение нового 15-20 Рассказ учителя, решение задачи,

материала: 10 экспериментальное задание

III Отработка нового 10 сообщения учащихся

материала: 10-15 решение задач,

15 фронтальный опрос

IV.Выводы. Домашнее 5-10 Устное обобщение материала учителем.

задание Запись на доске

Ход урока.

I Повторение 1. Фронтальный опрос: плечо силы, момент силы, условие равновесия, виды равновесия

Эпиграф: Центром тяжести каждого тела является некоторая располо-женная внутри его точка - такая, что если за нее мысленно подвесить тело, то оно остается в покое и сохраняет первона-чальное положение.

II . Объяснение нового материала

Пусть дано тело или система тел. Мысленно разобьем тело на сколь угодно малые части с массами m1, m2, m3… Каждую из этих частей можно рассматривать как материальную точку. Положение в пространстве i-ой материальной точки с массой mi определяется радиус-вектором r i (рис. 1.1). Масса тела есть сумма масс отдельных его частей: т = ∑ mi.

Центром масс тела (системы тел) называет-ся такая точка С, радиус-вектор которой определяется по формуле

r = 1/m∙∑ mi r i

Можно показать, что положение центра масс относительно тела не за-висит от выбора начала координат О, т.е. данное выше определение центра масс однозначно и корректно.

Центр масс однородных симметричных тел рас-положен в их геометрическом центре или на оси симметрии, центр масс у плоского тела в виде произвольного треугольника находится на пересече-нии его медиан.

Решение задачи

ЗАДАЧА 1. На легком стержне (рис. 1.2) закреплены однородные ша-ры массами m1 = 3 кг, m2 = 2 кг, m3 = 6 кг, и m4 = 3 кг. Расстояние между центрами любых ближайших шаров

а = 10 см. Найти положе-ние центра тяжести и центра масс конструкции.

РЕШЕНИЕ. Положение относительно шаров центра тяжести конструкции не зависит от ориентации стержня в пространстве. Для ре-шения задачи удобно располо-жить стержень горизонтально, как показано на рисунке 2. Пусть центр тяжести находится на стержне на расстоянии L от центра левого шара, т.е. от т. А. В центре тяжести приложена равнодействующая всех сил тяжести и ее момент относительно оси А равен сумме моментов сил тяжести шаров. Имеем r = (m1 + m2 + m3 + m4) g ,

R L = m2gα + m 3 g 2 а + m 4 g 3 а.

Отсюда L=α (m1 +2m3 + 3m4)/ (m1 + m2 + m3 + m4) ≈ 16,4 см

ОТВЕТ. Центр тяжести совпадает с центром масс и находится, в точке С на расстоянии L=16,4см от центра левого шара.

Оказывается, что у центра масс тела (или системы тел) есть ряд за-мечательных свойств. В динамике показывается, что импульс произвольно движущегося тела равен произведению массы тела на скорость его центра масс и что центр масс движется так, как если бы все внешние силы, действующие на тело, были приложены в центре масс, а масса все-го тела была сосредоточена в нем.

Центром тяжести тела, находящегося в поле тяготения Земли, на-зывают точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, дейст-вующих на все части тела. Эта равнодействующая называется силой тя-жести, действующей на тело. Сила тяжести, приложенная в центре тя-жести тела, оказывает на тело такое же воздействие, как и нее силы тя-жести, действующие на отдельные части тела.

Интересен случай, когда размеры тела намного меньше размеров Зем-ли. Тогда можно считать, что на все части тела действуют параллельные силы тяжести, т.е. тело находится в однородном поле тяжести. У парал-лельных и одинаково направленных сил всегда есть равнодействующая, что можно доказать. Но при определенном положении тела в простран-стве можно указать только линию действия равнодействующей всех параллельных сил тяжести, точка ее приложения останется пока неопреде-ленной, т.к. для твердого тела любую силу можно переносить вдоль ли-нии ее действия. Как же быть с точкой приложения?

Можно показать, что при любом положении тела в однородном поле тяжести, линия действия равнодействующей всех сил тяжести, действу-ющих на отдельные части тела, проходят через одну и ту же точку, не-подвижную относительно тела. В этой точке и прикладывается равно-действующая, а сама точка будет центром тяжести тела.

Положение центра тяжести относительно тела зависит только от фор-мы тела и распределения массы в теле и не зависит от положения тела в однородном поле тяжести. Центр тяжести не обязательно находится в са-мом теле. Например, у обруча в однородном поле тяжести центр тяжести лежит в его геометрическом центре.

В однородном поле тяжести центр тяжести те-ла совпадает с его центром масс.

В подавляющем боль-шинстве случаев один термин безбо-лезненно можно заменять другим.

Но: центр масс тела су-ществует независимо от наличия поля тяжести, а о центре тяжести мож-но говорить только при наличии силы тяжести.

Местоположение центра тяжести тела, а значит и центра масс, удобно находить, учитывая симметричность тела и используя понятие момента силы.

Если плечо силы равно нулю, то момент силы равен нулю и такая сила не вызывает вращательного движения тела.

Следовательно, если линия действия силы проходит через центр масс, то оно движется поступательно.

Таким образом, можно определить центр масс любой плоской фигуры. Для этого надо закрепить ее в одной точке, дав ей возможность свободно поворачиваться. Она установится так, чтобы сила тяжести, поворачивающая ее, проходила через центр масс. В точке закрепления фигуры подвесим нить с грузом (гайкой), проведем линию вдоль подвеса (т.е. линию действия силы тяжести). Повторим действия, закрепив фигуру в другой точке. Пересечение линий действия сил тяжести - центр масс тела

Экспериментальное задание: определить центр тяжести плоской фигуры (по приготовленным ранее учащимися фигурам из картона или фанеры).

Инструкция: закрепляем фигурку на штативе. Подвешиваем за один из углов фигуры отвес. Проводим линию действия силы тяжести. Поворачиваем фигуру, повторяем действие. Центр масс лежит в точке пересечения линий действия силы тяжести.

Быстро справившимся с заданием учащимся можно дать дополнительное задание: прикрепить к фигуре груз (металлический болт) и определить новое положение центра масс. Сделать вывод.

Изучение замечательных свойств «центров», которому более двух тыся-челетий, оказалось полезным не толь-ко для механики - например, при конструировании транспортных средств и военной техники, расчете устойчивости сооружений или для вывода уравнений движения реактив-ных аппаратов. Вряд ли Архимед мог даже помыслить о том, что поня-тие центра масс окажется весьма удоб-ным для исследований в ядерной фи-зике или в физике элементарных час-тиц.

Сообщения учащихся:

В своем труде «О равновесии плос-ких тел» Архимед употреблял понятие центра тяжести, фактически не опре-деляя его. Видимо, оно впервые было введено неизвестным предшественни-ком Архимеда или же им самим, но в более ранней, не дошедшей до нас работе.

Должно было пройти долгих сем-надцать столетий, прежде чем наука прибавила к исследованиям Архимеда о центрах тяжести новые результаты. Это произошло, когда Леонардо да Винчи сумел найти центр тяжести тет-раэдра. Он же, размышляя об устойчи-вости итальянских наклонных башен, в том числе - Пизанской, пришел к «теореме об опорном многоугольни-ке».

Выясненные еще Архимедом усло-вия равновесия плавающих тел впос-ледствии пришлось переоткрывать. Занимался этим в конце XVI века: голландский ученый Симон Стевин, применявший, наряду с понятием цен-тра тяжести, и понятие «центр давле-ния» - точку приложения силы давле-ния окружающей тело воды.

Прин-цип Торричелли (а его имя носят и формулы для расчета центра масс), оказывается, был предвосхищен его учителем Галилеем. В свою очередь, этот принцип лег в основу классичес-кого труда Гюйгенса о маятниковых часах, а также был использован в знаменитых гидростатических иссле-дованиях Паскаля.

Метод, позволивший Эйлеру изу-чать движение твердого тела под дей-ствием любых сил, состоял в разложе-нии этого движения на перемещение центра масс тела и вращение вокруг проходящих через него осей.

Для сохранения в неизменном по-ложении предметов при движении их опоры уже несколько столетий приме-няется так называемый карданов под-вес - устройство, в котором центр тяжести тела располагают ниже осей, вокруг которых оно может вращаться. Примером может служить корабельная керосиновая лампа.

Хотя на Луне сила тяжести в шесть раз меньше, чем на Земле, увеличить там рекорд по прыжкам в высоту уда-лось бы «всего» лишь в четыре раза. К такому выводу приводят расчеты по изменению высоты центра тяжести тела спортсмена.

Помимо суточного вращения вок-руг своей оси и годового обращения вокруг Солнца, Земля принимает уча-стие еще в одном круговом движении. Вместе с Луной она «крутится» вокруг общего центра масс, расположенного примерно в 4700 километрах от центра Земли.

Некоторые искусственные спутни-ки Земли снабжены складной штангой в несколько или даже в десятки мет-ров, утяжеленной на конце (так назы-ваемый гравитационный стабилиза-тор). Дело в том, что спутник вытяну-той формы стремится при движении по орбите повернуться вокруг своего центра масс так, чтобы его продольная ось расположилась вертикально. Тог-да он, подобно Луне, будет все время обращен к Земле одной стороной.

Наблюдения за движением неко-торых видимых звезд свидетельству-ют о том, что они входят в двойные системы, в которых происходит вра-щение «небесных партнеров» вокруг общего центра масс. Одним из невиди-мых компаньонов в такой системе мо-жет быть нейтронная звезда или, воз-можно, черная дыра.

Объяснение учителя

Теорема о центре масс: центр масс те-ла может изменить свое положение только под действием внешних сил.

Следствие теоремы о центре масс: центр масс замкнутой системы тел остается неподвижным при любых взаимодействиях тел системы.

Решение задачи (у доски)

ЗАДАЧА 2. Лодка стоит неподвижно в стоячей воде. Человек, находящийся в лодке, переходит с носа на корму. На какое расстояние h сдви-нется лодка, если масса человека m= 60кг, масса лодки М = 120кг, длина лодки L=3м? Сопротивлением воды пренебречь.

РЕШЕНИЕ. Воспользуемся условием задачи, что начальная скорость центра масс равна нулю (лодка и человек вначале покоились) и сопротивление воды отсутствует (никакие внешние силы в горизонтальном направлении на систему «человек-лодка» не действуют). Следователь-но, координата центра масс системы в горизонтальном направлении не изменилась. На рис.3 изображено начальное и конечное положение лодки и человека. Начальная координата х0 центра масс х0 = (mL+ML/2)/(m+M)

Конечная координата х центра масс х = (mh+M(h+L/2))/(m+M)

Приравнивая х0 = х, находим h= mL/(m+M) =1м

Дополнительно: сборник задач Степановой Г.Н. №393

Объяснение учителя

Вспоминая условия равновесия, мы выяснили, что

Для тел, имеющих площадь опоры, устойчивое равновесие наблюдается в том случае, когда линия действия силы тяжести проходит через основание.

Следствие: чем больше площадь опоры и ниже центр тяжести, тем устойчивее положение равновесия.

Демонстрация

Поставьте детскую игрушку неваляш-ку (Ваньку - Встаньку) на шерохова-тую доску и приподнимите правый край доски. В какую сторону откло-нится «голова» игрушки при сохране-нии ее равновесия?

Объяснение: Центр тяжести С неваляшки находится ниже геометрического центра О шарообразной поверхности «туловища». В положе-нии равновесия точка С и точка касания А игрушки с на-клонной плоскостью должны находиться на одной вертикали; следовательно «голова» неваляшки отклонится влево

Как объяснить сохранение рав-новесия в случае, показанном на ри-сунке?

Объяснение: Центр тяжести системы карандаш - нож лежит ниже точ-ки опоры

III Закрепление. Фронтальный опрос

Вопросы и задачи

1. При перемещении тела с экватора на полюс действующая на него сила тяжести меняется. Отражается ли это на положении центра тяжести тела?

Ответ: нет, т.к. относительные изменения силы тяжести всех элементов тела одинаковы.

2. Можно ли найти центр тяжести «гантели», состоящей из двух массив-ных шариков, соединенных невесо-мым стержнем, при условии, что дли-на «гантели» сравнима с диаметром Земли?

Ответ: нет. Условие существования центра тяжести - однород-ность поля тяготения. В неоднородном гравитационном поле повороты «гантели» вокруг ее центра масс приводят к тому, что линии действия L1 и L2, равнодействующих сил тяжести, приложенных к шарикам, не имеют общей точки

3. Почему при резком торможении автомобиля его передняя часть опус-кается?

Ответ: при торможении на колеса со стороны дороги действует сила трения, создающая вращающий момент вокруг центра масс автомобиля.

4. Где находится центр тяжести буб-лика?

Ответ: в дырке!

5. В цилиндрический стакан понем-ногу наливают воду. Как будет изме-няться положение центра тяжести си-стемы стакан - вода?

Ответ: Центр тяжести системы сначала будет понижаться, а потом - повышаться.

6. Какой длины конец надо отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести сместился на ∆ℓ?

Ответ: длиной 2∆ℓ.

7. Однородный стержень согну-ли посередине под прямым углом. Где оказался теперь его центр тяжес-ти?

Ответ: в точке О — середине отрезка О1О2, соединяющего сере-дины участков АВ и ВС стержня

9. Неподвижная космическая ста-ция представляет собой цилиндр. Космонавт начинает круговой обход ста-ции по ее поверхности. Что произойдет со станцией?

Ответ: с танция придет во вращение в противоположную сторо-ну, причем ее центр будет описывать окружность вокруг об-щего с космонавтом центра масс.

11. Почему трудно передвигаться на ходулях?

Ответ: центр тяжести человека на ходулях значительно повыша-ется, а площадь его опоры на землю уменьшается.

12. Когда канатоходцу легче удер-жать равновесие - при обычном пере-движении по канату или при переносе сильно изогнутого коромысла, нагру-женного ведрами с водой?

Ответ: Во втором случае, так как центр масс канатоходца с вед-рами лежит ниже, т.е. ближе к опоре - канату.

IV Домашнее задание: (выполняется желающими - задачи трудные, решившие их получают "5").

*1. Найдите центр тяжести системы шаров, находящихся в вершинах равностороннего невесомого треугольника, изображенного на рисунке

Ответ: центр тяжести лежит на середине биссектрисы угла, в вершине которого находится шар массой 2m

*2. Глубина лунки в доске, в кото-рую вставлен шар, в два раза меньше радиуса шара. При каком угле накло-на доски к горизонту шар выскочит из лунки?

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

При решении механических задач неоценимую помощь может оказать использование понятия центра масс системы материальных точек. Одни задачи просто невозможно решить, не прибегая к этому понятию, решение других с его помощью может стать гораздо проще и нагляднее.

Перед тем как обсуждать конкретные задачи, напомним основные свойства центра масс и проиллюстрируем их примерами.

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек назовем точку, характеризующую распределение масс в системе, координаты которой определяются формулами

Здесь m i - массы материальных точек, образующих систему, x i , y i , z i - координаты этих точек. Читатели, знакомые с понятием радиуса-вектора, предпочтут векторную запись:

(1)

Пример 1 . Найдем положение центра масс, простейшей системы, состоящей из двух точек, массы которых m 1 и m 2 и расстояние между ними l (рис. 1).

Направив ось X от первой точки ко второй, получим, что расстояние от первой точки до центра масс (т.е. координата центра масс) равно а расстояние от центра масс до второй точки равно т.е. отношение расстояний обратно отношению масс. Значит, в этом случае положение центра масс совпадает с центром тяжести.

Обсудим некоторые свойства центра масс, что, как нам кажется, наполнит физическим содержанием приведенное выше несколько формальное определение этого понятия.

1) Положение центра масс не изменится, если какую-то часть системы заменить одной точкой с массой, равной массе этой подсистемы, и находящейся в ее центре масс.

Пример 2 . Рассмотрим плоский однородный треугольник и найдем положение его центра масс. Разделим треугольник на тонкие полоски, параллельные одной из сторон, и заменим каждую полоску точкой, расположенной в ее середине. Так как все такие точки лежат на медиане треугольника, центр масс тоже должен лежать на медиане. Повторяя рассуждения для каждой из сторон, получаем, что центр масс находится на пересечении медиан.

2) Скорость центра масс можно найти, взяв производную по времени от обеих частей равенства (1):

(2)

где - импульс системы, m - полная масса системы. Видно, что скорость центра масс замкнутой системы постоянна. Значит, если связать с центром масс поступательно движущуюся систему отсчета, то она будет инерциальной.

Пример 3 . Поставим однородный стержень длиной l вертикально на гладкую плоскость (рис. 2) и отпустим. В процессе падения как горизонтальная составляющая его импульса, так и горизонтальная составляющая скорости центра масс будут оставаться равными нулю. Поэтому в момент падения центр стержня окажется в том месте, где первоначально стоял стержень, а концы стержня сместятся по горизонтали на .

3) Ускорение центра масс равно производной от его скорости по времени:

(3)

где в правой части равенства стоят только внешние силы, так как все внутренние силы сокращаются по третьему закону Ньютона. Получаем, что центр масс, движется так, как двигалась бы воображаемая точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей внешней силы. Наверное, это самое физическое свойство центра масс.

Пример 4 . Если бросить палку, приведя ее при этом во вращение, то центр масс палки (ее середина) будет двигаться с постоянным ускорением по параболе (рис. 3).

4) Пусть система точек находится в однородном поле тяжести. Тогда суммарный момент сил тяжести относительно любой оси, проходящей через центр масс, равен нулю. Это значит, что равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс, т.е. центр масс является также центром тяжести.

5) Потенциальная энергия системы точек в однородном поле тяжести вычисляется по формуле

где h ц - высота центра масс системы.

Пример 5 . При выкапывании в однородном фунте ямы глубиной h и разбрасывании грунта по поверхности его потенциальная энергия возрастает на , где m - масса извлеченного грунта.

6) И еще одно полезное свойство центра масс. Кинетическая энергия системы точек может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии общего поступательного движения системы, равной , и кинетической энергии E отн движения относительно системы отсчета, связанной с центром масс:

Пример 6 . Кинетическая энергия обруча, катящегося без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью υ, равна

так как относительное движение в этом случае представляет собой чистое вращение, для которого линейная скорость точек обруча равна υ (полная скорость нижней точки должна быть равна нулю).

Теперь приступим к разбору задач на использование центра масс.

Задача 1 . Однородный стержень лежит на гладкой горизонтальной поверхности. К стержню прикладывают две одинаковые по величине, но противоположные по направлению горизонтальные силы: одна сила приложена к середине стержня, другая - к его концу (рис. 4). Относительно какой точки начнет поворачиваться стержень?

На первый взгляд может показаться, что осью вращения будет точка, лежащая посередине между точками приложения сил. Однако уравнение (3) показывает, что поскольку сумма внешних сил равна нулю, то равно нулю и ускорение центра масс. Значит, центр стержня будет оставаться в покое, т.е. служить осью вращения.

Задача 2 . Тонкий однородный стержень длиной l и массой m привели в движение вдоль гладкой горизонтальной поверхности так, что он движется поступательно и одновременно вращается с угловой скоростью ω. Найдите, натяжение стержня в зависимости от расстояния x до его центра.

Перейдем в инерциальную систему отсчета, связанную с центром стержня. Рассмотрим движение куска стержня, заключенного между рассматриваемой точкой стержня (расположенной на расстоянии x от центра) и его концом (рис. 5).

Единственной внешней силой для этого куска является искомая сила натяжения F н, масса равна , а его центр масс движется по окружности радиусом с ускорением . Записывая уравнение движения центра масс выделенного куска, получим

Задача 3 . Двойная звезда состоит из двух звезд-компонентов массами m 1 и m 2 , расстояние между которыми не меняется и остается равным L . Найдите период вращения двойной звезды.

Рассмотрим движение звезд-компонентов в инерциальной системе отсчета, связанной с центром масс двойной звезды. В этой системе отсчета звезды движутся с одной и той же угловой скоростью по окружностям разных радиусов (рис. 6).

Радиус вращения звезды массой m 1 равен (см. Пример 1), а ее центростремительное ускорение создается силой притяжения к другой звезде:

Видим, что период вращения двойной звезды равен

и определяется полной массой двойной звезды, независимо от того, как она распределена между звездами-компонентами.

Задача 4 . Две точечные массы m и 2m связаны невесомой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорость массы 2m равна нулю, а скорость массы m равна υ и направлена перпендикулярно нити (рис. 7). Найдите натяжение нити и период вращения системы.

Рис. 7

Центр масс системы находится на расстоянии от массы 2m и движется со скоростью . В системе отсчета, связанной с центром масс, точка массой 2m движется по окружности радиусом со скоростью . Значит, период вращения равен (проверьте, что такой же ответ получается, если рассмотреть точку массой m ). Натяжение нити найдем из уравнения движения любой из двух точек:

Задача 5 . На гладкой горизонтальной плоскости лежат два одинаковых бруска массой m каждый, связанных легкой пружиной жесткостью k (рис. 8). Первому бруску сообщают скорость υ 0 в направлении от второго бруска. Опишите движение системы. Через какое время деформация пружины впервые достигнет максимального значения?

Центр масс системы будет перемещаться с постоянной скоростью . В системе отсчета центра масс начальная скорость каждого бруска равна , а жесткость половинной пружины, которая соединяет его с неподвижным центром масс, составляет 2k (жесткость пружины обратно пропорциональна ее длине). Период таких колебаний равен

а амплитуда колебаний каждого бруска, которую можно найти из закона сохранения энергии, составляет

В первый раз деформация станет максимальной через четверть периода, т.е. через время .

Задача 6 . Шар массой m налетает со скоростью υ на покоящийся шар массой 2m . Найдите скорости обоих шаров после упругого центрального удара.

В системе отсчета, связанной с центром масс, полный импульс двух шаров равен нулю как до, так и после coyдарения. Легко догадаться, какой ответ для конечных скоростей удовлетворяет одновременно и этому условию, и закону сохранения энергии: скорости останутся такими же, как до удара, по величине, но изменят свои направления на противоположные. Скорость центра масс системы равна . В системе центра масс первый шар движется со скоростью , а второй шар движется навстречу первому со скоростью . После удара шары будут разлетаться с такими же скоростями. Осталось вернуться в первоначальную систему отсчета. Применяя закон сложения скоростей, находим, что конечная скорость шара массой m равна и направлена назад, а скорость покоившегося раньше шара массой 2m равна и направлена вперед.

Отметим, что в системе центра масс очевидным является утверждение, что при ударе относительная скорость шаров не меняется по величине, но меняется по направлению. А так как разность скоростей при переходе в другую инерциальную систему отсчета не изменяется, можно считать, что мы вывели это важное соотношение и для первоначальной системы отсчета:

υ 1 – υ 2 = u 1 – u 2 ,

где буква υ используется для обозначения начальных скоростей, а u - для конечных. Это уравнение можно решать совместно с законом сохранения импульса вместо закона сохранения энергии (куда скорости входят во второй степени).

Задача 7 . Известно, что при упругом нецентральном ударе двух одинаковых шаров, один из которых до удара покоился, угол разлета равен 90°. Докажите это утверждение.

В системе центра масс нецентральный удар можно описать следующим образом. До удара шары сближаются с одинаковыми импульсами, после удара они разлетаются с такими же по величине, но противоположно направленными импульсами, а прямая разлета поворачивается на некоторый угол относительно прямой сближения. Чтобы перейти обратно в начальную систему отсчета, надо каждую конечную скорость сложить (векторно!) со скоростью центра масс. В случае одинаковых шаров скорость центра масс равна , где υ - скорость налетающего шара, и в системе отсчета центра масс шары сближаются и разлетаются с одинаковыми скоростями . В том, что после сложения каждой конечной скорости со скоростью центра масс получаются взаимно перпендикулярные векторы, можно убедиться из рисунка 9. А можно и просто проверить, что скалярное произведение векторов и обращается в ноль в силу того, что модули векторов равны друг другу.

Упражнения

1. Стержень массой m и длиной l шарнирно закреплен за один из концов. Стержень отклонили на некоторый угол от вертикального положения и отпустили. В момент прохождения вертикального положения скорость нижней точки равна υ. Найдите натяжение в средней точке стержня в этот момент времени.

2. Стержень массой m и длиной l вращают в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω вокруг одного из его концов. Найдите зависимость натяжения стержня от расстояния x до оси вращения, если на другом конце закреплен маленький грузик массой М .

3. Найдите период колебаний для системы, описанной в задаче 5 статьи, но для брусков различных масс m 1 и m 2 .

4. Выведите известные общие формулы для упругого центрального удара двух шаров, используя переход в систему отсчета центра масс.

5. Шар массой m 1 налетает на покоящийся шар меньшей массы m 2 . Найдите максимально возможный угол отклонения налетающего шара при упругом нецентральном ударе.

Центром масс системы называется точка с радиус-вектором

Для непрерывного распределения массы с плотностью 
. Если силы тяжести, приложенные к каждой частице системы, направлены в одну сторону , то центр масс совпадает с центром тяжести. Но если
не параллельны , то центр масс и центр тяжести не совпадают.

Взяв производную по времени от , получим:

т.е. полный импульс системы равен произведению ее массы на скорость центра масс.

Подставляя это выражение в закон изменения полного импульса, находим:

Центр масс системы движется как частица, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена результирующая внешних сил.

При поступательном движении все точки твердого тела движутся так же, как и центр масс (по таким же траекториям), поэтому для описания поступательного движения достаточно записать и решить уравнение движения центра масс.

Так как
, то центр массзамкнутой системы должен сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, т.е. =const. Но при этом вся система может вращаться, разлетаться, взрываться и т.п. в результате действия внутренних сил .

Реактивное движение. Уравнение Мещерского

Реактивным называется движение тела, при котором происходит присоединение или отбрасывание массы. В процессе движения происходит изменение массы тела: за время dt тело массы m присоединяет (поглощает) или отбрасывает (испускает) массу dm со скоростью относительно тела ; в первом случае dm>0, во втором dm<0.

Рассмотрим такое движение на примере ракеты. Перейдем в инерциальную систему отсчета K", которая в данный момент времени t движется с той же скоростью , что и ракета – такая ИСО называетсясопутствующей – в этой системе отсчета ракета в данный момент t покоится (скорость ракеты в этой системе =0). Если сумма внешних сил, действующих на ракету, не равна нулю, то уравнение движения ракеты в системе K", но так как все ИСО эквивалентны, то и в системе К уравнение будет иметь тот же самый вид:

Это – уравнение Мещерского , описывающее движение любого тела с переменной массой}.

В уравнении масса m – величина переменная, и ее нельзя внести под знак производной. Второе слагаемое в правой части уравнения называется реактивной силой

Для ракеты реактивная сила играет роль силы тяги, но в случае присоединения массы dm/dt>0 и реактивная сила будет силой торможения (например, при движении ракеты в облаке космической пыли).

Энергия системы частиц

Энергия системы частиц состоит из кинетической и потенциальной. Кинетическая энергия системы представляет собой сумму кинетических энергий всех частиц системы

и является, согласно определению, величиной аддитивной (как и импульс).

Иначе обстоит дело с потенциальной энергией системы. Во-первых, между частицами системы действуют силы взаимодействия
. ПоэтомуA ij =-dU ij , где U ij - потенциальная энергия взаимодействия i-ой и j-ой частиц. Суммируя U ij по всем частицам системы, находим так называемую собственную потенциальную энергию системы:

Существенно, что собственная потенциальная энергия системы зависит только от ее конфигурации. К тому же эта величина - не аддитивная.

Во-вторых, на каждую частицу системы, вообще говоря, действуют и внешние силы. Если эти силы - консервативные, то их работа будет равна убыли внешней потенциальной энергии A=-dU внеш, где

где U i - потенциальная энергия i-ой частицы во внешнем поле. Она зависит от положений всех частиц во внешнем поле и является аддитивной.

Таким образом, полная механическая энергия системы частиц, находящейся во внешнем потенциальном поле, определяется как

E сист =К сист +U соб +U внеш

Дифференциальные уравнения движения системы

Аналогичный результат получим для любой точки. Следовательно, для всей системы будет:

Уравнения (1) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в векторной форме.

Теорема о движении центра масс системы

$R=\frac{m_{1} r_{1} +m_{2} r_{2} +...+m_{n} r_{n} }{m} $, (2)

где $m=m_{1} +m_{2} +...+m_{n} $ - общая масса всей системы.

$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =\sum \overline{F}_{k}^{e} +\sum \overline{F}_{k}^{l} $. (3)

Из формулы (2) имеем:

Беря вторую производную по времени, получаем:

$\sum m_{k} \overline{a}_{k} =M\overline{a}_{c} $, (4)

где $\overline{a}_{c} $- ускорение центра масс системы.

Так как по свойству внутренних сил в системе $\sum \overline{F}_{k}^{l} =0$, получим окончательно из равенства (3), учтя (4):

$M\overline{a}_{c} =\sum \overline{F}_{k}^{e} $. (5)

Проецируя обе части равенства (5) на координатные оси, получим:

$M\ddot{x}_{c} =\sum \overline{F}_{kx}^{e} $, $M\ddot{y}_{c} =\sum \overline{F}_{ky}^{e} $, $M\ddot{z}_{c} =\sum \overline{F}_{kz}^{e} $. (6)

Значение теоремы состоит в следующем:

Теорема

Поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела. В остальных случаях тело можно рассматривать как материальную точку лишь тогда, когда практически для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс и допустимо по условиям задачи не принимать во внимание вращательную часть движения тела;
Теорема позволяет исключать из рассмотрения все наперед неизвестные внутренние силы. В этом ее практическая ценность.

Пример

\[\omega \] \[\alpha \]

Запишем второй закон Ньютона для нашей системы:

Спроецируем обе части на оси x и y:

\[\left\{ \begin{array}{c} N\sin \alpha =ma; \\ N\cos \alpha =mg; \end{array} \right.(4)\]

Разделив одно уравнение на другое, получим:

Так как $a=\frac{v^{2} }{R} ;$$v=\omega R$, находим искомое расстояние:

Ответ: $R=\frac{gtg\alpha }{\omega ^{2} } $

Урок «Центр масс. Уравнение движения центра масс системы Как найти перемещение центра масс

Теорема о движении центра масс системы

Реактивное движение. Уравнение Мещерского

Энергия системы частиц

Теорема о движении центра масс системы